§ 7. ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ

Задачи на доказательство

1. Докажите, что два равновеликих треугольника равны, если имеют по два соответственно равных угла.

2. Докажите, что в описанной равнобедренной трапеции диаметр окружности есть среднее геометрическое ее оснований (т.е. равен , где a, b – основания трапеции).

3. Внутри треугольника взята произвольная точка. Докажите, что сумма отношений расстояний от этой точки до сторон углов к высотам, опущенным на те же стороны, равна 1.

4. Докажите, что площадь кругового кольца, заключенного между двумя концентрическими окружностями, равна площади круга, диаметр которого равен хорде большей окружности, касающейся меньшей окружности.

5. Около треугольника ABC описана окружность. Продолжения высот AA₁ и BB₁ пересекают ее соответственно в точках D  и E. Докажите, что: а) точка C делит дугу DE пополам; б) точки A₁ и B₁ делят отрезки соответственно HD и HE пополам, где H – ортоцентр данного треугольника.

6. Из центра окружности на стороны вписанного в нее четырехугольника опущены перпендикуляры. Докажите, что площадь данного четырехугольника в два раза больше площади четырехугольника, вершинами которого являются основания опущенных перпендикуляров.

7. В треугольнике ABC построены биссектрисы BL и BK соответственно внутреннего и внешнего углов B треугольника. Из точки A опущен перпендикуляр AD на BL, а из C – CE на BK. F – точка пересечения AD и CE, G – точка пересечения AF и BC. Докажите, что треугольник ABC равновелик четырехугольнику BDFE.

8. Докажите, что у трапеции, вписанной в окружность, точки пересечения диагоналей, боковых сторон и центр описанной окружности принадлежат одной прямой, перпендикулярной ее основаниям.

9. Из точки M вне окружности проведены две касательные MA и MB, где A и B – точки касания. Через произвольную точку дуги AB проведена третья касательная, пересекающая первые две в точках C и D соответственно. Докажите, что величина угла COD  (O – центр данной окружности) не зависит от выбора точки на дуге AB.

10. Точки E, F, G и H – середины сторон соответственно AB, BC, CD и DA произвольного четырехугольника ABCD. Докажите, что центроиды треугольников CEH и AFG совпадают.

 

Задачи на построение

11. Постройте треугольник ABC по углу a и высотам BH = h_b, CP = h_c.

12. Постройте окружность данного радиуса R, проходящую через данную точку A и касающуюся данной прямой a.

13. Постройте ромб по высоте h и диагонали d.

14. В данный треугольник впишите ромб, имеющий с треугольником общий угол.

15. Постройте треугольник по двум углам и радиусу: а) вписанной в него окружности; б) описанной около него окружности.

16. Через точку M, данную внутри угла AOB, проведите прямую, отсекающую на сторонах угла отрезки, отношение которых равно 2 : 3.

17. В данный квадрат впишите правильный восьмиугольник (четыре стороны восьмиугольника лежат на сторонах квадрата).

18. Постройте параллелограмм, площадь которого в восемь раз меньше площади данного треугольника.

19. Даны отрезки AB и CD. Найдите ГМТ M, для которых треугольники ABM и CDM равновелики.

20. Даны две концентрические окружности. Постройте круг площади в четыре раза большей площади данного кольца.

 

Задачи на вычисление

21. В треугольнике ABC ÐA = 80°, ÐB = 40°. Из вершины C проведены высота CH и биссектриса CL. Найдите угол HCL.

22. Из вершины прямоугольника опущен перпендикуляр на его диагональ, основание которого делит ее в отношении 1 : 3. Найдите диагонали прямоугольника, если расстояние от точки их пересечения до большей стороны равно 4,8 см.

23. В равнобедренной трапеции диагональ является биссектрисой тупого угла, большее основание меньше периметра на m см, а средняя линия равна n см. Найдите основания трапеции.

24. Одна из двух хорд, образующих вписанный угол, делит окружность в отношении 3 : 13, другая – в отношении 4 : 21. Найдите данный угол.

25. Расстояния от центроида треугольника до его сторон относятся как 2 : 3 : 4. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 117 см.

26. Даны две параллельные прямые a и b. Из точки A, принадлежащей прямой a, проведены перпендикуляр AH и наклонная AB к прямой b. Из точки B проведена наклонная BC к прямой a, которая пересекает перпендикуляр AH в точке D. Найдите угол ABH, если DC = 2AB иACD = a.

27. В треугольнике ABC проведена медиана BM, на BM взята точка K такая, что BK : KM = 1 : 2. Прямая AK пересекает BC в точке L. Найдите отношение BL : LC.

28. В равнобедренную трапецию вписана окружность. Точки касания являются вершинами четырехугольника, площадь которого равна  площади трапеции. Найдите отношение ее оснований.

29. Найдите площадь треугольника по двум его сторонам a и b и биссектрисе l угла между ними.

30. Найдите периметры и площади заштрихованных фигур, изображенных на рисунке 30. Объясните, как они построены, изобразите их.

 

ОТВЕТЫ

2. Воспользуйтесь рисунком 59. 3. Воспользуйтесь рисунком 60. 6. Воспользуйтесь рисунком 61. 7. Воспользуйтесь рисунком 62. 14. Решение показано на рисунке 63. 17. Решение показано на рисунке 64. 18. Решение показано на рисунке 65. 21. 20°. 22. 19,2 см. 23. 4n – m, m – 2n. 24. 117°27’. 25. 27 см, 36 см, 54 см. 26. 3a. 27. 1 : 4. 28. 1 : 3. 29. . 30. а) 2pa, ; б) 4pR, R²(2-3).